早わかり位相空間入門

本記事は、位相を学んだことのない方に向けて、位相とは何かの直観的な説明を行います。

位相空間とは

数学ではベクトル空間など○○空間という用語が多用されますが、位相空間もその一種となります。空間とは特別な演算や性質を備えた集合のことです。例えばベクトル空間はベクトルの集合ですが、ベクトルの加算とスカラー倍が許されているため空間という特別な名前を冠しています。同様に、位相空間はただの集合に位相という概念を導入するため位相「空間」となります。位相が導入された集合とはどのようなものでしょうか?端的には、それは「近さ」が定義された集合を意味します。

「近さ」を定式化する

そもそも、「近さ」とはどのように定義されるでしょうか?定義の仕方の一つには、「距離」を使うものが考えられます。例えば、よく馴染みのある二次元ユークリッド空間$\mathbb{R}^2$では、2点$(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$の距離は$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$で与えられます。この数値の大小によって2点の近さを測るわけです。ここでは「距離」を使って「近さ」の定義をしています。

距離を使った近さの定義があるということは、近さの定式化には他のアプローチも考えられるということです。それが今回話題にしている位相です。大雑把に言うと、集合を使ってグループ分け(カテゴリー分け)し、同じ集合に入っている元が「近い」と考えるのが位相です。例えば、”りんご”、”バナナ”を含む集合と”牛”、”豚”を含む別の集合があるとします。このときりんごとバナナは同じ集合に属しているので「近く」、バナナと豚は異なる集合の元なので「遠い」と判断することができます。

位相空間の例

例を通して位相空間を理解してみましょう。前述の通り位相空間とは位相が導入された集合であるので、まず適当な集合を考える必要があります。なんでもよいのですが、ここでは3点$a, b, c$からなる集合$X = \{a, b, c\}$を使います。$X$の位相は、$X$の部分集合の集合$\mathscr{O}(X) = \{O | O \subset X\}$で与えられます。$\mathscr{O}(X)$に属する集合$O$を$X$の開集合と呼びます。

$\mathscr{O}(X) = \{X, \varnothing\} = \{\{a, b, c\}, \varnothing\}$は密着位相と呼ばれています。同一の集合に属する元を「近い」と考えるのが位相の概念でしたので、密着位相ではすべての元が同じグループに入っている、すなわち「近い」とみなされています。

密着位相の対照として、離散位相$\mathscr{O}(X) =  \{\{a, b, c\}, \{a, b\}, \{b, c\}, \{c, a\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \varnothing\}$があります。離散位相は$X$の部分集合をすべて含んでいます。離散位相から例えば集合$\{a\}$をとってくると、これは$a$のみが同じグループに属していて、$b, c$は$a$から「遠い」と考えられます。集合$\{a, b\}$を考慮した場合も同様です。密着位相と比べると、$a, b, c$が細かくカテゴリー分けされていて、分散しているということが感覚的に分かるのではないでしょうか。

まとめ

以上をまとめると、$X$の位相は$X$の部分集合の集合のことで、各部分集合に属する元を互いに「近い」とみなします。すなわち、位相空間とは「近さ」の導入された集合だと理解することができます。

3 Comments

  1. 米山
    2019年1月18日

    少し伺いたいのですが、位相空間とは田邊元がやっていたものとは違うのですか
    哲学の空間論とはまた違ったものですか

    返信
    1. chickenta2ta
      2019年1月18日

      コメントありがとうございます。
      当方哲学は専門外なのですが、田邊元に数学の素養があったことを考えると数学の位相から着想を得た可能性はあると思います(そのままの意味で使われているかは分かりませんが)。もう少し詳しい説明を頂ければ判断できるかもしれません。

      返信
  2. 米山
    2019年1月18日

    私もよく分からなくて、今 哲学の空間論について勉強している最中です
    あなたの方がお詳しいような気がしたので、聞きました
    抽象的で的を得なくてすみません

    返信

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